Wenn JSSE bei Ihnen nicht funktioniert (nach der Antwort von @skaffman könnte es schwierig sein, eine Dokumentation zu finden), sollten Sie vielleicht eine Art Proxy in Betracht ziehen. Sie könnten einen Daemon einrichten, der auf demselben lokalen Rechner (oder einem vertrauenswürdigen Netzwerk) läuft und die Anfragen über HTTPS an den endgültigen Endpunkt weiterleitet. Sie könnten diesen Proxy-Server mit einer moderneren JVM schreiben. Ihr Altsystem würde dann auf den Proxy verweisen und nicht auf den eigentlichen Dienst.
Wenn Sie zufälligerweise auch die Kontrolle über den endgültigen Endpunkt haben, könnten Sie natürlich auch einfach beide Server an ein VPN anschließen.