Wie kann man eine numerische Integration mit der Wellenfunktion eines harmonischen Quantenoszillators durchführen?

Question

Wie zu tun ist numerische Integration (welche numerische Methode und welche Tricks) für eine eindimensionale Integration über einen unendlichen Bereich, bei der eine oder mehrere Funktionen im Integranden sind 1d quantenharmonischer Oszillator Wellenfunktionen. Unter anderem möchte ich die Matrixelemente einer Funktion auf der Basis des harmonischen Oszillators berechnen:

phi _n (x) = N _n H _n (x) exp(-x 2 /2)
_wobei H _n (x) ist Hermite-Polynom_

V _m,n \= \int_ {Unendlichkeit}^{Unendlichkeit} phi _m (x) V(x) phi _n (x) dx

Das gilt auch für den Fall, dass es quantenharmonische Wellenfunktionen mit unterschiedlicher Breite gibt.

Das Problem ist, dass die Wellenfunktionen phi _n (x) haben ein oszillierendes Verhalten, was ein Problem für große n und Algorithmen wie die adaptive Gauß-Kronrod-Quadratur von GSL (GNU Scientific Library) benötigen viel Zeit für die Berechnung und weisen große Fehler auf.

Answer 1

Wenn Sie mit harmonischen Oszillatorfunktionen arbeiten, die kleiner als n = 100 sind, sollten Sie es vielleicht versuchen:

http://www.mymathlib.com/quadrature/gauss_hermite.html

Das Programm berechnet ein Integral mittels Gauß-Hermit-Quadratur mit 100 Nullstellen und Gewichten (die Nullstellen von H_100). Sobald Sie über Hermite_100 hinausgehen, sind die Integrale nicht mehr so genau.

Mit dieser Integrationsmethode habe ich ein Programm geschrieben, das genau das berechnet, was Sie berechnen wollen, und es funktioniert ziemlich gut. Möglicherweise gibt es auch eine Möglichkeit, über n=100 hinauszugehen, indem man die asymptotische Form der Hermite-Polynom-Nullstellen verwendet, aber ich habe mich damit nicht beschäftigt.